Листок 4

Задача 4.1. Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — бесконечно-дифференцируемые в $x=0$ функции. Докажите, что ряд Тейлора функции $f(x)g(x)$ является свёрткой Коши рядов Тейлора $f(x)$ и $g(x)$.

Задача 4.2. Для всех натуральных $n$ вычислите

Задача 4.3. Функция $f:X\to \mathbb{R}$, где $X$ — метрическое пространство, называется гёльдеровой с показателем $\alpha$, если

Докажите, что гёльдерова функция на отрезке $[0,1]$ с показателем $\alpha >1$ является постоянной.

Задача 4.4. Будем говорить, что бесконечное произведение $\prod _{n=1}^{\infty }{a}_n$ сходится к $P\ne 0$,
если

(Если $P=0$, то говорят, что произведение расходится к нулю.)

a) Докажите, что если бесконечное произведение $\prod _{n=1}^{\infty }{a}_n$ сходится, то ${\lim }_{n\to +\infty }{a}_n=1$.

б) Докажите, что $e^x\ge 1+x$ для всех $x\in \mathbb{R}$ и $e^x\le \frac{1}{1-x}$ при $x<1$.

в) Пусть $a_n\in \mathbb{R}$ и $\sum a_n^2$ сходится. Докажите, что бесконечное произведение
$\prod (1+a_n)$сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum a_n$. Верно ли это без предположения о сходимости ряда из квадратов?

Задача 4.5. Пусть $(X,\rho )$ — метрическое пространство. Докажите, что $\tilde{\rho }(x,y)=\frac{\rho (x,y)}{1+\rho (x,y)}$ тоже задаёт метрику на $X$ и что топологии на $(X,\rho )$ и $(X,\tilde{\rho })$ совпадают.

Задача 4.6. Докажите, что выпуклая функция на интервале непрерывна. Всегда ли она дифференцируема?

Задача 4.7. Пусть $p,q>1$ и $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

a) Найдите максимум функции $f(y)=xy-y^p$ при $y>0$, где $x>0$.

б) Докажите, что для вещественных $x_i,y_i$ выполнено неравенство

Задача 4.8.* Для натурального $n$ определим

Докажите, что последовательность ${\phi }_n$ сходится.
Указание: Рассмотрите функцию $f(x)=(1+x+\dots +\frac{x^n}{n!})e^{-x}$.