Листок 1, 9 февраля 2026 г.

Задача 1. Отображение, при котором множество $X$ переходит в одну точку, называется постоянным. Докажите, что постоянное отображение непрерывно.

Задача 2. Опишите все топологии на множествах, состоящим из не более чем трех элементов.

Задача 3. Докажите, что вещественное пространство ${\mathbb{R}}^n$ с естественной топологий обладает счетной базой.

Задача 4. Опишите все базы для топологического пространства $X$ с дискретной топологией. С антидискретной топологией.

Задача 5. Пусть $\mathbb{R}$ - вещественная прямая с естественной топологий. Пусть $X$ - топологическое пространство с дискретной топологией, $X^{\prime }$ - топологическое пространство с антидискретной топологией. Опишите множества отображений

• из $\mathbb{R}$ в $X$;
• из $X$ в $\mathbb{R}$;
• из $X^{\prime }$ в $\mathbb{R}$;
• ${\mathbb{R}}_{\text{в }}{X}^{\prime }$.

Задача 6. Назовем отображение топологических пространств omкрытым, если образ любого открытого множества открыт. Назовем отображение топологических пространств замкнутым, если образ любого замкнутого множества замкнут. Приведите примеры непрерывного отображения топологических пространств, не являющегося открытым; замкнутым.

Задача 7. Пусть $Y$ - подмножество топологичесокго пространства $X$. Замыканием $\bar{Y}$ множества $Y$ в $X$ назовем пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $Y$. Докажите, что $\bar{Y}$ замкнуто.

Задача 8. Пусть $Y$ - подмножество топологичесокго пространства $X$. Будем говорить, что $\bar{Y}$ является всюду плотным в $X$, если пересечение $Y$ с любым непустым открытым подмножеством $X$ непусто. Докажите, что $Y$ всюду плотно в $X$ тогда и только тогда, когда его замыкание совпадает с $X$.

Задача 9. Опишите все всюду плотные подмножества в пространстве с дискретной топологией; с антидискретной топологией.

Задача 10. Докажите, что множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ всюду плотно в $\mathbb{R}$.