Топология–1. Лекция 1

Топологическое пространство

Пусть $X$ — множество.

Определение (Топология). Семейство подмножеств $τ \subset 2^{X}$ называется топологией на $X$ , если выполнены следующие аксиомы:

$\emptyset \in τ$ и $X \in τ$ .
Если ${U_{i}}_{i \in I} \subset τ$ — произвольное семейство множеств (где $I$ — произвольное множество индексов), то

$i \in I ⋃ U_{i} \in τ .$
Если $U_{1}, \dots, U_{n} \in τ$ , где $n \in N$ , то

$i = 1 ⋂ n U_{i} \in τ .$

Пара $(X, τ)$ называется топологическим пространством. Множества $U \in τ$ называются открытыми множествами.

Множество $F \subset X$ называется замкнутым, если его дополнение открыто, то есть

F замкнуто ⟺ X ∖ F \in τ .

Примеры топологий

Пусть $X$ — множество.

Тривиальная (антидискретная) топология

τ = {\emptyset, X} .

Обозначение: $X^{triv}$ . Это минимальная (самая грубая) топология на $X$ .

Дискретная топология

τ = 2^{X} .

Обозначение: $X^{discr}$ . Это максимальная (самая тонкая) топология на $X$ .

Топология на множестве из двух точек

Пусть $X = {p, q}$ . Один из возможных вариантов топологии:

τ = {\emptyset, X, {p}} .

Упражнение. Описать все топологии на множестве, состоящем не более чем из трёх элементов.

Евклидова топология на $R$

Пусть $X = R$ .

Определение. Подмножество $U \subset R$ называется открытым (в евклидовой топологии), если

\forall x \in U \exists ε > 0 : (x - ε, x + ε) \subset U .

Соответствующая топология называется евклидовой топологией на $R$ .

Непрерывные отображения

Пусть $(X, τ_{X})$ и $(Y, τ_{Y})$ — топологические пространства.

Определение (Непрерывное отображение). Отображение $f : X \to Y$ называется непрерывным, если для любого открытого множества $U \in τ_{Y}$ выполнено

f^{- 1} (U) \in τ_{X} .

То есть прообраз любого открытого множества открыт.

Пример (тождественное отображение из тривиальной топологии в дискретную). Рассмотрим тождественное отображение

id_{X} : X^{triv} ⟶ X^{discr}, id_{X} (x) = x .

Вопрос. Является ли это отображение непрерывным?

Ответ. В общем случае — нет (иногда да). Рассмотрим различные случаи.

Случай 1: $∣ X ∣ = 1$ . Если $X = {p}$ , то $X^{triv} = X^{discr}$ , поэтому отображение непрерывно.

Случай 2: $∣ X ∣ \geq 2$ . Тогда

τ_{triv} = {\emptyset, X}, τ_{discr} = 2^{X},

и $τ_{triv} ⊊ τ_{discr}$ , то есть в дискретной топологии строго больше открытых множеств. Возьмём $U = {x_{0}}$ , где $x_{0} \in X$ . Тогда $U$ открыто в $X^{discr}$ , но $U \in / τ_{triv}$ . Так как $id_{X}^{- 1} (U) = U$ , прообраз открытого множества не является открытым в $X^{triv}$ .

Следовательно, при $∣ X ∣ \geq 2$ отображение $id_{X} : X^{triv} \to X^{discr}$ непрерывным не является. Если же $X = \emptyset$ , отображение непрерывно тривиально (вакуумно).

Пример (тождественное отображение из дискретной топологии в тривиальную). Рассмотрим обратное отображение

id_{X} : X^{discr} ⟶ X^{triv} .

Пусть $U \in τ_{triv}$ . Тогда $U = \emptyset$ или $U = X$ . Но оба множества открыты и в дискретной топологии, поэтому

id_{X}^{- 1} (U) = U \in τ_{discr} .

Отсюда следует, что отображение $id_{X} : X^{discr} \to X^{triv}$ всегда непрерывно.

Пример (параметризация окружности). Рассмотрим стандартную евклидову топологию на $R^{2}$ и определим окружность как подмножество

S^{1} = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} = 1} .

На $S^{1}$ рассматривается индуцированная (подпространственная) топология: множество $U \subset S^{1}$ объявляется открытым, если существует открытое множество $V \subset R^{2}$ такое, что $U = V \cap S^{1}$ .

Рассмотрим отображение

f : R ⟶ S^{1}, f (t) = (cos t, sin t) .

Это стандартная параметризация окружности. Отображение $f$ непрерывно как композиция непрерывных функций (синуса и косинуса).

Замечание. Отображение $f$ можно рассматривать как склеивание концов отрезка длины $2 π$ ; строго говоря, корректно говорить о факторпространстве $R / (2 π Z)$ . В дальнейшем в курсе формулы будут использоваться минимально; основной аппарат — топологический.

Индуцированная топология

Пусть $(X, τ_{X})$ — топологическое пространство и $Y \subset X$ .

Определение (Индуцированная (подпространственная) топология). Индуцированной топологией на $Y$ называется семейство множеств

τ_{Y} = {U \subset Y ∣ \exists V \in τ_{X} : U = V \cap Y} .

То есть множество $U \subset Y$ объявляется открытым в $Y$ , если оно является пересечением некоторого открытого множества пространства $X$ с множеством $Y$ .

Утверждение. Индуцированная топология действительно является топологией на $Y$ .

Доказательство. Проверим аксиомы топологии.

(1) Пустое множество и всё пространство. Так как $X \in τ_{X}$ , то $X \cap Y = Y$ , значит $Y \in τ_{Y}$ . Аналогично $\emptyset \cap Y = \emptyset$ , поэтому $\emptyset \in τ_{Y}$ .

(2) Произвольные объединения. Пусть $U_{i} \in τ_{Y}$ , $i \in I$ . Тогда существуют $V_{i} \in τ_{X}$ такие, что $U_{i} = V_{i} \cap Y$ , и

i \in I ⋃ U_{i} = i \in I ⋃ (V_{i} \cap Y) = (i \in I ⋃ V_{i}) \cap Y .

Так как $⋃_{i \in I} V_{i} \in τ_{X}$ , то $⋃_{i \in I} U_{i} \in τ_{Y}$ .

(3) Конечные пересечения. Пусть $U_{1}, \dots, U_{n} \in τ_{Y}$ . Тогда существуют $V_{1}, \dots, V_{n} \in τ_{X}$ такие, что $U_{i} = V_{i} \cap Y$ , и

i = 1 ⋂ n U_{i} = i = 1 ⋂ n (V_{i} \cap Y) = (i = 1 ⋂ n V_{i}) \cap Y .

Поскольку $⋂_{i = 1}^{n} V_{i} \in τ_{X}$ , получаем $⋂_{i = 1}^{n} U_{i} \in τ_{Y}$ .

Следовательно, $τ_{Y}$ является топологией.

Пример. Рассмотрим $Y = [a, b] \subset R$ . Открытые множества в $Y$ имеют вид:

$(a, b)$ ;
$[a, b)$ ;
$(a, b]$ ;
объединения таких множеств.

Интуитивно: если открытое множество $R$ не касается границы, получается обычный открытый интервал; если пересекает границу, возникает полуинтервал. Таким образом, подпространственная топология описывает, какие множества внутри подмножества считаются открытыми.

Гомеоморфизм

Определение (Гомеоморфизм). Пусть $(X, τ_{X})$ и $(Y, τ_{Y})$ — топологические пространства. Отображение $f : X \to Y$ называется гомеоморфизмом, если:

$f$ — биекция;
$f$ — непрерывно;
$f^{- 1}$ — непрерывно.

В этом случае пространства $X$ и $Y$ называются гомеоморфными.

Замечание. Гомеоморфизм — это биекция, которая индуцирует взаимно обратные отображения открытых множеств.

Замечание. Обычно топологические пространства рассматривают с точностью до гомеоморфизма: гомеоморфные пространства мы не различаем. Гомеоморфизм — это естественное отношение эквивалентности, с помощью которого удобно классифицировать топологические пространства.

Хаусдорфовы пространства

Определение (Хаусдорфовость,). Топологическое пространство $X$ называется хаусдорфовым (или удовлетворяющим условию $T_{2}$ ), если

\forall p, q \in X, p \neq = q \exists U, V \in τ_{X} : p \in U, q \in V, U \cap V = \emptyset .

Иными словами, любые две различные точки имеют непересекающиеся открытые окрестности.

Пример.

$X^{triv}$ (антидискретная топология) хаусдорфово только в тривиальном случае, когда $∣ X ∣ \leq 1$ .
$X^{discr}$ (дискретная топология) хаусдорфово всегда: одноточечные множества открыты, и для любых $p \neq = q$ можно взять $U = {p}$ и $V = {q}$ .
Пусть $X = {p, q}$ и $τ = {\emptyset, X, {p}}$ . Тогда $(X, τ)$ не хаусдорфово, так как у точки $q$ нет открытой окрестности, не содержащей $p$ .
$R$ с евклидовой топологией хаусдорфово: для $p \neq = q$ можно взять два непересекающихся открытых интервала.

Замечание. Хаусдорфовость инвариантна относительно гомеоморфизмов: если $X$ гомеоморфно $Y$ и одно из пространств хаусдорфово, то и другое хаусдорфово.

TikZ diagram — Две различные точки $p$ и $q$ обладают непересекающимися открытыми окрестностями $U$ и $V$ , $U \cap V = \emptyset$ .

Компактность

Определение (Покрытие). Пусть ${U_{i}}_{i \in I}$ — семейство открытых в $X$ множеств, причём $⋃_{i \in I} U_{i} = X$ . Тогда говорят, что семейство ${U_{i}}_{i \in I}$ является (открытым) покрытием множества $X$ . Покрытие называется конечным, если существует конечный индексный набор $J \subset I$ , $∣ J ∣ < \infty$ , такой что $⋃_{j \in J} U_{j} = X$ .

Определение (Компактность). Топологическое пространство $X$ называется компактным, если из любого открытого покрытия $X$ можно выделить конечное подпокрытие. То есть для любого семейства открытых множеств ${U_{i}}_{i \in I}$ такого, что

X = i \in I ⋃ U_{i},

существует конечное подмножество $J \subset I$ такое, что

X = j \in J ⋃ U_{j} .

Пример.

Если $∣ X ∣ < \infty$ , то $X$ компактно.
$R$ не является компактным: семейство открытых множеств

$U_{i} = (- i, i), i \in N,$

даёт покрытие $⋃_{i = 1}^{\infty} U_{i} = R$ , но у него нет конечного подпокрытия.

Теорема (Хейне–Борель). Пусть $X \subset R^{n}$ . Тогда $X$ компактно $⟺$ $X$ замкнуто и ограничено.

Замечание. Эта теорема верна именно в евклидовом пространстве $R^{n}$ . В произвольном топологическом пространстве критерий «замкнутость и ограниченность» не эквивалентен компактности.

Утверждение. Пусть $X$ — компактное топологическое пространство и $Y \subset X$ — замкнутое подмножество. Тогда $Y$ компактно.

Доказательство. Пусть ${U_{i}}_{i \in I}$ — покрытие $Y$ открытыми множествами относительно подпространственной топологии $Y$ ; то есть для каждого $i$ существует открытое в $X$ множество $V_{i}$ такое, что $U_{i} = V_{i} \cap Y$ . Тогда множества ${V_{i}}_{i \in I}$ вместе с множеством $X ∖ Y$ образуют открытое покрытие $X$ :

X = (X ∖ Y) \cup i \in I ⋃ V_{i} .

Поскольку $X$ компактно, существует конечный поднабор $V_{i_{1}}, \dots, V_{i_{n}}$ , покрывающий $X$ . Исключив при необходимости $X ∖ Y$ , получаем конечный набор соответствующих $U_{i_{k}} = V_{i_{k}} \cap Y$ , покрывающий $Y$ . Следовательно, $Y$ компактно.

Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто

Утверждение. Пусть $X$ — хаусдорфово пространство, $Y \subset X$ — компактное подмножество. Тогда $Y$ замкнуто в $X$ .

Доказательство. Достаточно доказать, что дополнение $X ∖ Y$ открыто. Для этого покажем, что

\forall x \in X ∖ Y \exists U_{x} \subset X

такое, что $U_{x}$ открыто, $x \in U_{x}$ и $U_{x} \cap Y = \emptyset$ . Тогда

X ∖ Y = x \in X ∖ Y ⋃ U_{x}

— объединение открытых множеств, а значит открыто.

Построение окрестности. Зафиксируем точку $x \in X ∖ Y$ . Поскольку пространство $X$ хаусдорфово, для любой точки $y \in Y$ существуют открытые множества $U_{x, y}, V_{y} \subset X$ такие, что

x \in U_{x, y}, y \in V_{y}, U_{x, y} \cap V_{y} = \emptyset .

Покрытие множества $Y$ . Множества ${V_{y}}_{y \in Y}$ покрывают $Y$ :

Y \subset y \in Y ⋃ V_{y} .

Так как $Y$ компактно, существует конечное подпокрытие $V_{y_{1}}, \dots, V_{y_{n}}$ .

Построение требуемой окрестности. Рассмотрим пересечение

U_{x} = U_{x, y_{1}} \cap U_{x, y_{2}} \cap \dots \cap U_{x, y_{n}} .

Это открытое множество как конечное пересечение открытых множеств, и $x \in U_{x}$ . Кроме того,

U_{x} \cap Y = \emptyset,

поскольку каждое $U_{x, y_{i}}$ не пересекается с соответствующим $V_{y_{i}}$ , а множества $V_{y_{i}}$ покрывают $Y$ . Следовательно,

x \in U_{x} \subset X ∖ Y .

Тем самым для любой точки $x \in X ∖ Y$ существует открытая окрестность, лежащая в $X ∖ Y$ . Значит, $X ∖ Y$ открыто, и потому $Y$ замкнуто.

Упражнение. Верно ли утверждение, если пространство $X$ не хаусдорфово?

Теорема о непрерывной биекции

Теорема (О непрерывной биекции). Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства, $f : X \to Y$ — непрерывная биекция, причём $X$ компактно, а $Y$ хаусдорфово. Тогда $f$ является гомеоморфизмом.

Доказательство. Достаточно доказать, что обратное отображение $f^{- 1}$ непрерывно. Эквивалентно: показать, что $f$ является открытым отображением.

Определение (Открытое отображение). Отображение $f : X \to Y$ называется открытым, если

U \subset X открыто \Rightarrow f (U) \subset Y открыто .

Определение (Замкнутое отображение). Отображение $f : X \to Y$ называется замкнутым, если

F \subset X замкнуто \Rightarrow f (F) \subset Y замкнуто .

Эквивалентность трёх условий. Для биекции $f : X \to Y$ равносильны:

f^{- 1} непрерывно ⟺ f открыто ⟺ f замкнуто .

$f^{- 1}$ непрерывно $\Leftrightarrow$ $f$ открыто: непрерывность означает, что прообраз открытого открыт; но для биекции прообраз при $f^{- 1}$ совпадает с образом при $f$ (ведь $(f^{- 1})^{- 1} = f$ ). Значит, непрерывность $f^{- 1}$ — это в точности открытость $f$ .
$f$ открыто $\Leftrightarrow$ $f$ замкнуто: переходим к дополнениям. Если $U$ открыто, то $X ∖ U$ замкнуто, а для биекции $f (X ∖ U) = Y ∖ f (U)$ . Поэтому $f (U)$ открыто тогда и только тогда, когда $f (X ∖ U)$ замкнуто.

Таким образом, теорему достаточно свести к утверждению: $f$ является замкнутым отображением.

Лемма (Образ компакта компактен). Непрерывный образ компактного пространства компактен: если $f : X \to Y$ непрерывно и $K \subset X$ компактно, то $f (K) \subset Y$ компактно.

Доказательство. Пусть ${U_{i}}_{i \in I}$ — произвольное открытое покрытие $f (K)$ . По непрерывности $f$ множества ${f^{- 1} (U_{i})}_{i \in I}$ открыты и образуют покрытие $K$ . По компактности $K$ существует конечный поднабор $G \subset I$ , $∣ G ∣ < \infty$ , такой что ${f^{- 1} (U_{i})}_{i \in G}$ покрывает $K$ . Тогда ${U_{i}}_{i \in G}$ покрывает $f (K)$ . Тем самым из произвольного открытого покрытия $f (K)$ выделено конечное подпокрытие.

Теперь завершим доказательство теоремы о непрерывной биекции.

Доказательство. Пусть $F \subset X$ замкнуто. Так как $X$ компактно, а $F$ замкнуто, то $F$ компактно (по доказанному ранее утверждению). По лемме образ $f (F)$ компактен и является подмножеством $Y$ . Поскольку $Y$ хаусдорфово, компактное подмножество $f (F)$ замкнуто в $Y$ (по доказанному ранее утверждению). Итак, образ замкнутого множества замкнут, то есть $f$ — замкнутое отображение. Следовательно, $f^{- 1}$ непрерывно, и $f$ является гомеоморфизмом.

Непрерывная биекция, не являющаяся гомеоморфизмом

Условия теоремы существенны: непрерывная биекция, вообще говоря, не обязана быть гомеоморфизмом.

Пример (склейка полуинтервала в окружность). Рассмотрим полуинтервал $X = [0, 1)$ и окружность $Y = S^{1}$ с индуцированной топологией, а также отображение

f : [0, 1) ⟶ S^{1}, f (t) = (cos 2 π t, sin 2 π t),

«склеивающее» концы полуинтервала в окружность. Это непрерывная биекция, однако $f^{- 1}$ не является непрерывным.

Действительно, возьмём $U = [0, ε)$ — оно открыто в индуцированной топологии на $[0, 1)$ . Его образ $f (U)$ — дуга, содержащая точку $f (0) = (1, 0)$ , — не открыт в $S^{1}$ : у точки $(1, 0)$ нет открытой окрестности в $S^{1}$ , целиком лежащей в $f (U)$ . Значит, образ открытого множества не открыт, то есть $f^{- 1}$ не непрерывно.

Какое условие теоремы нарушено? Пространство $S^{1}$ хаусдорфово, но $X = [0, 1)$ не компактно, поэтому теорема о непрерывной биекции к этому отображению неприменима.

Произведение пространств и база топологии

Чтобы придать строгость предыдущему примеру, нужно определить топологию на плоскости $R^{2}$ , а для этого — произведение топологических пространств. Определим произведение двух пространств (конечные произведения вводятся аналогично, о бесконечных — отдельно).

Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства. Рассмотрим произведение множеств

X \times Y = {(x, y) ∣ x \in X, y \in Y} .

Топологии $τ_{X}$ и $τ_{Y}$ известны; нужно построить топологию на $X \times Y$ . Для этого понадобится понятие базы.

Определение (База топологии). Пусть $(X, τ)$ — топологическое пространство. Семейство открытых множеств $B \subset τ$ называется базой топологии $τ$ , если любое открытое множество $U \in τ$ представимо в виде объединения элементов $B$ :

U = i \in I ⋃ U_{i}, U_{i} \in B .

Пример.

На $R$ с евклидовой топологией базой служат открытые интервалы: по самому определению открытого множества в $R$ вокруг каждой его точки содержится интервал, лежащий в этом множестве.
В дискретной топологии базой служат одноточечные множества ${x}$ : их объединениями получаются все подмножества.

Таким образом, топология восстанавливается по базе $B$ , так как любое множество из $τ$ — объединение множеств из $B$ . Верно и обратное: можно абстрактно задать $B$ и построить по ней топологию $τ$ .

Определение (База топологии произведения). Базой топологии произведения на $X \times Y$ называется семейство «прямоугольных» множеств

B = {U_{X} \times U_{Y} ∣ U_{X} \in τ_{X}, U_{Y} \in τ_{Y}} .

Открытыми в $X \times Y$ объявляются произвольные объединения таких множеств.

Замечание. Сами «прямоугольники» $U_{X} \times U_{Y}$ топологии не образуют: объединение двух прямоугольников, вообще говоря, не является прямоугольником, поэтому аксиома о замкнутости относительно объединений не выполнена. Поэтому прямоугольники берут именно как базу, а топологию порождают их объединениями — она оказывается богаче набора прямоугольников (например, евклидова топология на $R^{2}$ содержит непрямоугольные открытые множества).

Утверждение (критерий базы). Набор множеств $B \subset 2^{X}$ является базой некоторой топологии на $X$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

объединение всех множеств базы даёт всё пространство,

$U \in B ⋃ U = X;$
для любых $U_{1}, U_{2} \in B$ и любой точки $x \in U_{1} \cap U_{2}$ существует $U \in B$ такое, что

$x \in U \subset U_{1} \cap U_{2} .$

В следующий раз будет проверено, что описанный набор «прямоугольников» удовлетворяет этому критерию и потому действительно задаёт топологию произведения.